<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
          4.400 -- 5 andar e andar 
          intermedirio Ala A Freguesia do  -- CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
          Tel.: 0800-115152 
          Fax: (11) 3990-1616
          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
          
          
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
         (Cmara Brasileira do Livro,  
          SP, Brasil)

Dante, Luiz Roberto
  Tudo  matemtica / Luiz 
 Roberto Dante. -- 3. ed. -- So Paulo : tica, 2009.

  Obra em 4 v. para alunos do 6 ano ao 9 ano.
  Bibliografia

  1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Ttulo.

09-02376          CDD-372.#g

          ndice para catlogo
          sistemtico:

1. Matemtica : Ensino 
  fundamental 372.#g

<P>
<P>
                             III
Luiz Roberto Dante 

<F->
<R+>
Livre-docente em Educao Matemtica pela Unesp -- Rio 
  Claro, SP. 
Doutor em Psicologia da 
  Educao: Ensino da Matemtica, pela PUC -- So Paulo. 
Mestre em Matemtica pela USP. 
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemtica pela Unesp -- Rio Claro, SP. 
Ex-professor da rede estadual de Ensino Fundamental e Mdio. 
Autor de vrios livros: 
*Didtica da resoluo de problemas de Matemtica*; 
*Didtica da Matemtica na pr-escola*; 
*Coleo Aprendendo Sempre -- Matemtica* (1 ao 5 ano); 
*Matemtica -- Contexto & 
  Aplicaes* -- 3 volumes (Ensino Mdio); 
*Matemtica -- Contexto e 
  Aplicaes* -- Volume nico (Ensino Mdio). 
<F+>
<R->
<p>
<P>
                                V
Apresentao 

Caro(a) aluno(a) 

  Bem-vindo(a) a esta nova etapa de estudos e aprendizagens. 
  Como voc j sabe, a Matemtica  uma parte importante de sua vida. Ela est presente em todos os lugares e em todas as situaes de seu cotidiano: na escola, no lazer, nas brincadeiras, em casa. 
  Escrevi este livro para voc compreender as ideias matemticas e aplic-las em seu dia a dia. Estou certo de que far isso de maneira prazerosa, agradvel, participativa e sem aborrecimentos. Sabe por qu? Porque ao longo deste livro voc ser convidado(a) a pensar, a resolver problemas e desafios, a trocar ideias com os colegas, a observar ao seu redor, a ler sobre a evoluo histrica da Matemtica, a trabalhar em equipe, a conhecer curiosidades, a brincar, a pesqui-
<p>
sar, a argumentar, a redigir e a divertir-se. 
  Gostaria muito de que aceitasse este convite com entusiasmo e dedicao, participando ativamente de todas as atividades propostas. 
  Vamos comear? 
  Um abrao 
  O autor 

<p>
                             VII
Seu livro em Braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam.
  Dicas para estudar no seu livro em braille:
<R+>
<F->
1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas.
2 -- Quando voc encontrar o sinal _ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _ saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<P> 
                             IX   
<R+>
<F->
Sumrio Geral

Primeira Parte

<R+>
<F->
Captulo 1 

Revendo o que aprendemos ::: 1
  
1. Nmeros inteiros, 
  fraes e nmeros 
  decimais :::::::::::::::::: 4 

2. Geometria e medidas :::: 10 

3. Equaes, inequaes e 
  sistemas do 1 grau :::::: 20

4. Propores, porcentagem 
  e juros ::::::::::::::::::: 23 

Captulo 2
 
Conjuntos numricos: dos 
  nmeros naturais aos 
  nmeros reais ::::::::::::: 33 
<p>
1. Conjuntos numricos :::: 36 
Conjunto dos nmeros 
  naturais _n ::::::::::::: 37 
Subconjuntos de _n ::::::::: 38 
Conjunto dos nmeros 
  inteiros _z ::::::::::::: 43  
Conjunto dos nmeros 
  racionais _q :::::::::::: 52  
Dzimas peridicas ::::::::: 58  
Os nmeros racionais na reta 
  numerada :::::::::::::::::: 61 
Densidade do conjunto dos 
  nmeros racionais ::::::::: 63 
Conjunto dos nmeros 
  irracionais _i :::::::::: 68 
O notvel nmero ^p :::::::: 69
O nmero 2 :::::::::::::: 72
Clculo aproximado de razes 
  no exatas :::::::::::::::: 78  
Conjunto dos nmeros reais 
  _r :::::::::::::::::::::: 81 
Os nmeros reais na reta 
  numerada :::::::::::::::::: 86 

2. Comparao e operaes  
  com nmeros reais ::::::::: 89 
<p>
                             XI
3. Inequaes e sistemas de 
  inequaes em _r :::::::::: 95 

Reviso cumulativa ::::::::: 102  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 111 

Segunda Parte

Captulo 3
 
Expresses algbricas :::::: 117
 
1. Mquinas programadas 
  para gerar operaes :::::: 121 

2. Expresses algbricas e 
  varivel :::::::::::::::::: 126 
Situaes representadas por 
  expresses algbricas ::::: 130  
Expresses algbricas 
  equivalentes :::::::::::::: 133 
Revendo a ideia de permetro 
  de um polgono :::::::::::: 137 
<p>
Restries para o 
  denominador ::::::::::::::: 142
Valor numrico de uma 
  expresso algbrica ::::::: 145 

3. Expresses algbricas e 
  equaes :::::::::::::::::: 151 
Expresses algbricas e 
  truques numricos ::::::::: 155  
Frmulas ::::::::::::::::::: 161
Nmero de diagonais de um 
  polgono convexo :::::::::: 171 
Generalizaes ::::::::::::: 173  
Resoluo de problemas com 
  expresses algbricas ::::: 175  

Reviso cumulativa ::::::::: 184  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 194

Captulo 4
 
Representao de slidos 
  geomtricos no plano :::::: 198 
<p>
                           XIII
1. Planificao de slidos 
  geomtricos ::::::::::::::: 200  

2. Poliedros regulares :::: 202 
Poliedros regulares e suas 
  planificaes ::::::::::::: 204 
A relao de Euler nos 
  poliedros regulares ::::::: 208  

3. Algumas representaes 
  de slidos geomtricos no 
  plano ::::::::::::::::::::: 211 
Malha pontilhada ::::::::::: 212 
Malha quadriculada ::::::::: 214 
Malha triangular ::::::::::: 216 
Vistas de um slido 
  geomtrico :::::::::::::::: 217 

4. Perspectiva: outra 
  representao de figuras 
  tridimensionais no 
  plano ::::::::::::::::::::: 219
Desenho em perspectiva ::::: 223 
Perspectiva a partir de 
  faces frontais :::::::::::: 226 
<p>
Representao em perspectiva 
  na linha do horizonte ::::: 228 
Perspectiva com dois pontos 
  de fuga ::::::::::::::::::: 229  

Reviso cumulativa ::::::::: 231  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 235 

Terceira Parte

Captulo 5 

Clculo algbrico :::::::::: 241 

1. Expresso algbrica 
  inteira ::::::::::::::::::: 245  

2. Monmios ::::::::::::::: 246
Monmios semelhantes ou 
  termos semelhantes :::::::: 249  
Operaes com monmios ::::: 253 
Adio e subtrao de 
  monmios semelhantes :::::: 253 
Multiplicao de 
  monmios :::::::::::::::::: 256
<p>
                             XV
Diviso de monmios :::::::: 258 
Potenciao de monmios :::: 260

3. Polinmios ::::::::::::: 263 
Reduo de termos 
  semelhantes de 
  polinmios :::::::::::::::: 267  
Grau de um polinmio ::::::: 273 

4. Operaes com 
  polinmios :::::::::::::::: 277  
Adio e subtrao de 
  polinmios :::::::::::::::: 278 
Multiplicao de 
  polinmios :::::::::::::::: 280 
Multiplicao de monmio por 
  polinmio ::::::::::::::::: 280  
Multiplicao de binmio por 
  binmio ::::::::::::::::::: 283 
Multiplicao de dois 
  polinmios quaisquer :::::: 286 
Produtos notveis :::::::::: 292  
Quadrado de uma soma 
  indicada: a+b2 ou 
  a+ba+b :::::::::::::::: 293
<p>
Quadrado de uma diferena 
  indicada: a-b2 ou 
  a-ba-b :::::::::::::::: 296 
Produto de uma soma indicada 
  por uma diferena indicada: 
  a+ba-b :::::::::::::::: 300  
Cubo de uma soma indicada: 
  a+b3 :::::::::::::::::: 305  
Cubo de uma diferena 
  indicada: a-b3 :::::::: 307  
Diviso de polinmios :::::: 311  
Diviso de polinmio por 
  monmio ::::::::::::::::::: 312 
Diviso de polinmio por 
  polinmio ::::::::::::::::: 314 
Fatorao de polinmios :::: 319 
1 caso de fatorao: 
  colocao de um termo em 
  evidncia ::::::::::::::::: 319  
2 caso de fatorao: 
  agrupamento ::::::::::::::: 323  
3 caso de fatorao: 
  trinmio quadrado 
  perfeito :::::::::::::::::: 325 
4 caso de fatorao: 
  diferena de dois 
  quadrados ::::::::::::::::: 328 
<p>
                           XVII
5 caso de fatorao: soma 
  de dois cubos ::::::::::::: 331 
6 caso de fatorao: 
  diferena de dois cubos ::: 333  
Fatoraes sucessivas :::::: 336  
Uma aplicao da fatorao: 
  clculo do mnimo mltiplo 
  comum (mmc) de 
  polinmios :::::::::::::::: 337 
Mnimo mltiplo comum de 
  nmeros naturais 
  (reviso) ::::::::::::::: 337 
Mnimo mltiplo comum de 
  polinmios :::::::::::::::: 339 
Outra aplicao de 
  fatorao: resoluo de 
  equao-produto ::::::::::: 343 
Demonstraes :::::::::::::: 347  

5. Polinmios com uma 
  varivel :::::::::::::::::: 355  

Reviso cumulativa ::::::::: 363  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 372 
<p>
Quarta Parte

Captulo 6
 
Equaes e sistemas de 
  equaes :::::::::::::::::: 377
  
1. Equaes do 1 grau com 
  uma incgnita ::::::::::::: 380  
Equaes literais do 1 
  grau com uma incgnita :::: 389 

2. Equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 392 
Como determinar solues de 
  equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 395
Grfico das solues de uma 
  equao do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 398 

3. Sistemas de duas 
  equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 402  
<p>
                            XIX
Solues de um sistema de 
  duas equaes do 1 grau 
  com duas incgnitas ::::::: 405 
Soluo de um sistema usando 
  clculo mental :::::::::::: 408
Mtodos de resoluo de um 
  sistema de duas equaes do 
  1 grau com duas 
  incgnitas :::::::::::::::: 410
Mtodo da substituio ::::: 411  
Mtodo da adio ::::::::::: 420 
Classificao de um sistema 
  de duas equaes do 1 
  grau com duas incgnitas, 
  quanto ao nmero de 
  solues :::::::::::::::::: 430 

4. Resoluo de problemas 
  envolvendo sistemas de 
  equaes :::::::::::::::::: 441 

Reviso cumulativa ::::::::: 447  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 451
<p>
Quinta Parte

Captulo 7
 
ngulos e tringulos ::::::: 455
  
1. ngulos opostos pelo 
  vrtice ::::::::::::::::::: 458 
ngulos formados por duas 
  retas concorrentes :::::::: 462 

2. ngulos formados por 
  retas paralelas cortadas 
  por uma reta 
  transversal ::::::::::::::: 465  

3. Soma das medidas dos 
  ngulos internos de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 473 

4. Polgonos :::::::::::::: 482  
Polgonos convexos e 
  polgonos no convexos :::: 482 
Elementos de um polgono 
  convexo ::::::::::::::::::: 484  
Nome dos polgonos quanto ao 
  nmero de lados ::::::::::: 487 
Polgonos regulares :::::::: 490 
<p>
                            XXI
Soma das medidas dos ngulos 
  internos de um polgono 
  convexo Si :::::::::::: 492 
Soma das medidas dos ngulos 
  externos de um polgono 
  convexo Se :::::::::::: 494 
ngulos internos e ngulos 
  externos de polgonos 
  regulares ::::::::::::::::: 498
Retomando o nmero de 
  diagonais de um polgono 
  convexo ::::::::::::::::::: 506 

5. Ampliando o estudo dos 
  tringulos :::::::::::::::: 510  
Caractersticas de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 510  
Elementos de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 512 
Condio de existncia de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 515 
Desigualdade triangular :::: 516 
Relaes envolvendo as 
  medidas dos ngulos e dos 
  lados de um tringulo ::::: 520 
Outra relao entre lados e 
  ngulos de um tringulo ::: 523  
<p>
6. Figuras congruentes :::: 526 
Congruncia de 
  tringulos :::::::::::::::: 528  
Casos de congruncia de 
  tringulos :::::::::::::::: 532 
Uma aplicao dos casos de 
  congruncia de 
  tringulos :::::::::::::::: 546  

7. Mediana, bissetriz e 
  altura de um tringulo :::: 551
Mediana de um tringulo :::: 551 
Bissetriz de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 553   
Altura de um tringulo ::::: 555  
Pontos notveis de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 559  
Ortocentro de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 560 
Incentro de um tringulo ::: 562
Baricentro de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 564
Circuncentro de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 570

Reviso cumulativa ::::::::: 577  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 585
<p>
                          XXIII
Sexta Parte

Captulo 8
 
Quadrilteros e 
  circunferncias ::::::::::: 591  

1. Quadrilteros :::::::::: 593  
Caractersticas de um 
  quadriltero convexo :::::: 598
Paralelogramos ::::::::::::: 602  
Propriedades dos 
  paralelogramos :::::::::::: 603  
Propriedade do retngulo ::: 611  
Propriedade do losango ::::: 613  
Trapzios :::::::::::::::::: 622 
Tipos de trapzio :::::::::: 625  
Base mdia de um 
  trapzio :::::::::::::::::: 631

2. Circunferncias :::::::: 637  
Posies relativas de uma 
  reta e de uma 
  circunferncia :::::::::::: 642 
Circunferncia inscrita e 
  circunferncia circunscrita 
  a um polgono ::::::::::::: 646 
<p>
Posies relativas de duas 
  circunferncias ::::::::::: 650 
ngulos em uma 
  circunferncia :::::::::::: 653
ngulo central ::::::::::::: 653  
Uma aplicao do ngulo 
  central: traado do 
  hexgono regular :::::::::: 654
ngulo inscrito :::::::::::: 660
Relao entre ngulo central 
  e ngulo inscrito ::::::::: 663 
ngulo de segmento ::::::::: 668 

Reviso cumulativa ::::::::: 670  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 675
 
Stima Parte

Captulo 9
 
Permetros, reas e 
  volumes ::::::::::::::::::: 679 

1. Medindo contornos :::::: 681  
Permetro de um polgono ::: 682 
<p>
                            XXV
Permetro de uma 
  circunferncia :::::::::::: 683 
Equivalncia de 
  permetros :::::::::::::::: 690

2. rea de uma 
  superfcie :::::::::::::::: 692 
rea de uma regio plana 
  irregular ::::::::::::::::: 692  
Equivalncia de reas :::::: 697
Uma curiosa forma de clculo 
  de rea ::::::::::::::::::: 702
Pontos da fronteira e pontos 
  interiores :::::::::::::::: 702 
A frmula procurada :::::::: 704 

3. Volume de um slido 
  geomtrico :::::::::::::::: 707  
Equivalncia de volumes :::: 710 

4. Frmulas para o clculo 
  de permetros ::::::::::::: 712

5. Frmulas para o clculo 
  de reas :::::::::::::::::: 714  
rea de uma regio 
  retangular :::::::::::::::: 715 
<p>
rea de uma regio limitada 
  por um paralelogramo :::::: 718 
rea de uma regio 
  triangular :::::::::::::::: 724  
rea de uma regio limitada 
  por um losango :::::::::::: 732
rea de uma regio limitada 
  por um trapzio ::::::::::: 738 
Outras atividades envolvendo 
  reas ::::::::::::::::::::: 743 
Uma grande descoberta 
  envolvendo reas: a relao 
  de Pitgoras ::::::::::::: 758

6. Frmulas para o clculo 
  da medida de volume ::::::: 764
Volume de um 
  paraleleppedo :::::::::::: 764 
Volume de um prisma 
  qualquer :::::::::::::::::: 767
Volume de uma pirmide ::::: 768 

Reviso cumulativa ::::::::: 772  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 781 
<p>
                          XXVII
Oitava Parte

Captulo 10 

Equaes fracionrias e 
  sistemas com equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 785

1. Fraes algbricas ::::: 788 
Simplificao de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 793 
Adio e subtrao de 
  fraes algbricas :::::::: 797
Multiplicao de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 800  
Diviso de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 802 
Potenciao de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 804

2. Equao fracionria 
  redutvel a uma equao do 
  1 grau com uma 
  incgnita ::::::::::::::::: 805  
Resoluo de equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 808  
<p>
3. Sistemas com equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 814  

Reviso cumulativa ::::::::: 823  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 827

Glossrio :::::::::::::::::: 832 
Respostas :::::::::::::::::: 853  
Leituras complementares :::: 971  
Bibliografia ::::::::::::::: 978 

<F+>
<R->
<p>
                           XXIX
Nota de transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, 
 as fraes podem ser escritas em braille, das seguintes maneiras:
<R+>
<F->
A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero."
Exemplo: #:d (trs quartos).                       
B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256) 
Exemplo: #c#d (trs quartos).
C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos 5#bef ~
Exemplo: #:d~#e (trs quartos sobre cinco).
Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.
<F+>
<R->
<8>
<p>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+1>
Captulo 1 

<R+>
Revendo o que aprendemos 

Como seria o mundo sem a Matemtica? 
<R->

  A humanidade percorreu um longo caminho antes de chegarmos ao que temos hoje. 
  A contribuio de pessoas que tiveram a curiosidade e a persistncia de investigar coisas que facilitassem a vida tornou possvel a realizao de sonhos como os de voar, construir edifcios, falar com algum que est distante, assistir a TV, executar transplantes de rgos, etc. 
  Sem a Matemtica, certamente nada do que est descrito anteriormente seria possvel, pois a utilizao de nmeros, medidas, formas geomtricas e tratamento da informao contribuiu em boa parte para a evoluo do ser humano. 
<p>
   medida que aprendemos coisas novas, evolumos. Ao chegar a uma nova etapa de estudos, olhamos para trs e vemos quanto j aprendemos. 
<9>
  As situaes a seguir envolvem assuntos que voc j estudou nos anos anteriores. Resolva-as no caderno e depois confira com seus colegas. 
<R+>
1) Num setor de uma fbrica, h troca de funcionrios de 4 em 4 horas; em outro setor, a troca  feita de 6 em 6 horas. 
<R->
  s 7 horas h a troca simultnea nos dois setores. Em que horrio isso volta a acontecer?  
<R+>
<F->
2) Foi feita uma pesquisa com um grupo de torcedores cariocas para saber o time de futebol preferido. O resultado da pesquisa foi: 
 #?h dos entrevistados votaram no Flamengo;
 #:aj dos entrevistados votaram no Vasco;
<p>
 #,bj dos entrevistados votou no Fluminense;
 os demais votaram no Botafogo. 
<F+>
<R->
  Os que votaram no Botafogo representam que frao dos entrevistados? 
<R+>
3) A nota fiscal a seguir, que se refere  compra de 2 mesas e 4 cadeiras, est rasgada. 
<R->
  Descubra o preo de cada mesa usando dois processos: sem equao e com equao. 

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Nota fiscal onde aparece alguns valores: 
Mercadoria: cadeiras -- Quantidade: 4 -- preo unitrio: R$24,00 -- subtotal: R$...
Mercadoria: mesas -- quantidade: 2 -- preo unitrio: R$...
Total -- R$328,00
<F+>
<R->
<p>
<R+>
Neste captulo, por meio de atividades vamos rever alguns contedos estudados nos anos anteriores que serviro de base para ampliar nossos conhecimentos. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<10>
<R+>
1. Nmeros inteiros, fraes e nmeros decimais 
<R->

<R+>
<F->
1. Identifique os elementos: 
a) do conjunto A dos nmeros inteiros maiores do que -2;  
b) do conjunto B dos nmeros inteiros menores do que +3;  
c) do conjunto C dos nmeros inteiros que esto entre -1 e +4;
d) do conjunto D dos nmeros inteiros maiores do que ou iguais a -3.  

2. Responda s questes a seguir e indique uma operao que corresponda a cada situao. 
<p>
a) Um elevador partiu do 3 andar do subsolo e subiu 5 andares. Em que andar ele parou? 
b) Juliana depositou R$200,00 em sua conta e seu saldo passou a ser positivo de R$150,00. Qual era o saldo de Juliana antes do depsito? 

3. Na escola de Antnio haver uma gincana da qual participaro 136 alunos do 6 ano e 112 alunos do 7 ano. 
<F+>
<R->
  Para organizar as equipes o coordenador da gincana estabeleceu que: 
<R+>
<F->
 As equipes sero formadas por alunos do mesmo ano. 
 Todas as equipes devem ter o mesmo nmero de alunos. 
 Todos os inscritos devem participar. 
A partir dessas informaes, responda em seu caderno: 
a) As equipes podem ter 7 alunos? 
<P>
b) As equipes podem ter 4 alunos?  
c) Qual  o maior nmero possvel que as equipes podem ter? 
d) No caso do item c, quantas equipes do 6 ano sero formadas? E do 7 ano? 

4. Sonares especiais so usados para mapear o fundo do oceano. Quando um sonar estava a -47 m, ele indicou que o fundo do oceano estava a -2.000 m. Qual era a distncia entre o sonar e o fundo do oceano?  
5. Qual  a soma destes 99 nmeros inteiros? 

1+-1+2+-2+3+-3+
  +...+50 

6. D o resultado de cada uma das operaes em _z:
a) -5++3   
b) -8-+2    
c) +2.-4 
d) -6-3
<p>
e) -24 
f) +16
g) -25 
h) -33 
<F+>
<R->

<11>
<R+>
7. Vamos dividir em partes iguais? Para isso, use apenas barbante, tesoura sem ponta, cola e uma folha de papel sulfite para esta atividade. No utilize rgua graduada. Escolha um pedao do barbante para representar a unidade. 
<R->
  Com o restante do barbante, obtenha outros pedaos correspondentes a #,b, #,d, #:d, #,c, #;c, #;e, #:e e #e da unidade, dobrando e cortando o barbante de forma adequada. Cole todos os pedaos na folha de papel sulfite e indique seus valores. Em seguida, escreva como se l cada uma das fraes. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
8. Laura e Mrio colocaram estas moedas em um saquinho e retiraram duas delas. A primeira moeda retirada foi a de R$0,25 e a segunda foi a de R$0,10. A quantia obtida foi de R$0,35. Escreva todas as possibilidades e em cada uma delas calcule a quantia obtida. Em seguida, responda: Quantas so as possibilidades? 

_`[{figuras adaptadas_`]
Uma moeda de 50 centavos, uma moeda de 25 centavos, uma moeda de 10 centavos, uma moeda de 5 centavos e uma moeda de 1 centavo.

9. Calcule o valor de -0,666...~?1#;c* e d o resultado na forma de nmero decimal. 

10. Identifique e copie no caderno apenas as afirmaes verdadeiras. 
<p>
a) Todo nmero natural  inteiro. 
b) Todo nmero inteiro  racional.  
c) Todo nmero natural  racional.  
d) Todo nmero racional  inteiro. 
e) Nem todo nmero inteiro  natural. 
f) Nem todo nmero racional  inteiro. 

11. Calcule o resultado de cada uma das operaes em _q:
a) -#,b+-#,d
b) -#;c++#:d
c) +#e--#,b
d) -1,5--2,3
e) +2,4--1,8
f) +#;c.-#,e
g) -#,d.-#:e
h) -#;c+#,d
i) +#:e-#;g
j) +0,16
k) -#,d
l) -#;c4
<p>
12. Escreva em notao cientfica cada um dos nmeros racionais: 
a) 3.800.000.000     
b) 0,0000016     
c) 51.000.000.000
d) 0,000000403
e) 25.000.000.000.000
f) 0,000068 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<12>
<R+>
2. Geometria e medidas 

_`[{para as atividades de 13 a 16, pea orientao ao professor_`]

13. Localizao 
<R->
  O ponto A na figura _`[no adaptada_`]  determinado pelo par ordenado -2,#c, nessa ordem. J o ponto B  determinado pelo par ordenado 3,-#b. 
<R+>
<F->
<p>
a) Indique os pares ordenados que determinam os pontos C, D, E, F, G, H, I e J. 
b) O ponto correspondente ao par ordenado -2,#a est mais prximo de A ou de H?  
c) Entre os pares ordenados 4,#j, 0,#d, 0,#j, -3,#j e 0,-#c, quais tm o ponto correspondente sobre o eixo x? 

14. Quantas diagonais tem um pentadecgono convexo?  

15. O aqurio da figura a seguir foi construdo com placas de vidro e ligas de alumnio. Todas as arestas de alumnio tm 40 cm de comprimento. 
a) O aqurio tem a forma de qual slido geomtrico? 
b) Qual  a forma das faces desse slido geomtrico? 
<p>
c) Quantos metros de alumnio foram gastos no aqurio? 

_`[{figura adaptada_`]
Base do aqurio
<F+>
<R->

<F->
  *cccc?
 *      ?
*        ?  
?        *
 ?      *
  ?----* 
<F+>

<R+>
<F->
16. As figuras _`[no adaptadas_`] mostram a forma e as dimenses de dois reservatrios de gua. 
a) Qual dos dois tem o volume maior? 
b) Quantos litros cabem nele a mais do que no outro?

17. Responda em seu caderno: 
a) Em qualquer pirmide, qual  a forma das faces laterais? 
<p>
b) Quantas faces, quantas arestas e quantos vrtices tem um prisma de base hexagonal? 
c) Quantas faces, quantas arestas e quantos vrtices tem uma pirmide de base quadrada? 
<F+>
<R->

<13>
<R+>
<F->
18. O octaedro convexo tem 6 vrtices e 8 faces. Use a relao de Euler V+F=A+2 e descubra quantas arestas ele tem.  

19. Em cada item, descubra o valor de x, em graus, sem efetuar medidas. 

a)
     e       i
       e    i
       x ei 55}
        i  e
      i      e
    i          e 
<p>
b)
       l
       l 
       l 
       l
::::::r::::::::o
     x l
       l
       l 
       l

c)
               
              
             
            
    x+68} 
::::::::::::::::::o
          3x
        
       
      

20. Sem usar transferidor, determine as medidas, em graus, dos ngulos indicados com letras nos seguintes quadrilteros: 
<P>
a)
            il
          i xl
        i    l
      i      l
    i        l
  i          l
i 85}       l
e            l
 e           l
  e          l
   e         l
    e 110}  l
     e:::::::b

b)
      cccccccccccc
     110}       x 
                    
                     
                      
 75}             95} 
------------------------u
<p>
c) Paralelogramo

       ccccccccccccccccm
       120}     60} 
                     
                    
                   
                  
  x            y 
----------------

d) Losango

        ie
      i x  e
    i        e
  i            e
i 55}         y e
e                i
  e            i
    e        i
      e z  i
        ei  

<p>
_`[{para as atividades 21 e 22, pea orientao ao professor_`]

21. Divida uma circunferncia com raio de 3,5 cm em seis partes iguais usando transferidor. Trace o polgono regular correspondente e, em seguida, ligue o centro da circunferncia aos vrtices do polgono. Finalmente responda: 
a) Quantos tringulos foram formados? 
b) Qual  a media dos ngulos internos de cada um desses tringulos? 
c) Que nome damos a cada um desses tringulos quanto aos lados? Por qu? 
Observao: Esta atividade mostra que podemos dividir a circunferncia em seis partes iguais, sem usar transferidor, utilizando a mesma abertura do 
<p>
  compasso usada para traar a circunferncia. Alm disso, feita a diviso podemos traar um hexgono regular ou um tringulo equiltero. 

22. Construa em seu caderno, sem usar transferidor, um hexgono regular com permetro de 30 cm. 
<F+>
<R->

<14>
Leitura 

60  um nmero especial 

  Voc j viu que os antigos babilnios (4000 a.C.-300 a.C.) usaram um sistema de numerao baseado no nmero 60. Esse sistema de numerao e o costume babilnico de escrever fraes com denominadores 60 e 360 provavelmente levaram ao uso das fraes sexagesimais. 
  Nas fraes sexagesimais divide-se a unidade em 60 partes, cada parte novamente em 60 partes, 
<p>
 e assim por diante. Essas fraes tm sido usadas pelos astrnomos no decorrer da Histria para mostrar medidas de ngulos. Um ngulo que mede 36} 20 30 (36 graus, 20 minutos e 30 segundos), por exemplo, seria escrito como 36+20~60+30~3.600.
  Esse mesmo sistema  usado hoje para medidas de ngulos e tempo. Exemplo: 
  Na misso Apollo 11, o tempo gasto na superfcie da Lua foi de 21 horas, 36 minutos e 21 segundos. Usando fraes sexagesimais para expressar o tempo como soma de partes de 1 hora, temos: 
<R+>
<F->
21 h 
36 minutos =36~60 h (H 60 min em 1 h)
21 segundos: 21~3.600 h (H 3.600 s em 1 h)
<F+>
<R->
  Assim, o tempo gasto na superfcie da Lua foi de 21+36~60+21~3.600 h.
<p>
<R+>
<F->
Agora  com voc! 
Escreva as medidas de tempo ou de ngulo usando fraes sexagesimais: 
a) 4 h 50 min 10 s 
b) 7 h 15 min 6 s 
c) 60} 30 5 
d) 30} 40 10
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
3. Equaes, inequaes e 
  sistemas do 1 grau
<R->
 
<R+>
<F->
23. Um professor do 8 ano de uma escola repartiu folhas de papel sulfite para trs classes. Para o 8 ano A ele deu a tera parte do total, para o 8 B, distribuiu 30 folhas a menos do que para o 8 A, e para o 8 C coube o dobro do que recebeu o 8 B. Quantas folhas ele distribuiu para cada classe?  
<p>
24. Resolva as equaes, em _q: 
a) 2x-0,5=4x+5,5 
b) -2x-2=3x-1
c) #:dx-2=x~6-1
d) x+2=?12x-2*~6-?18-
  -4x*~3

25. Determine as solues racionais de cada uma das inequaes do 1 grau com uma incgnita: 
a) x~2-3>#;c
b) ?3x-1*~2>=?x-1*~5
<F+>
<R->

<15>
<R+>
<F->
26. Determine dois pares ordenados de nmeros racionais que sejam solues de cada equao: 
a) 3x-2y=6
b) 2x~3+y~4=#,c 

27. Clculo mental 
<F+>
<R->
  Determine, mentalmente, as solues de cada um dos sistemas: 
<R+>
<F->
a) x+y=5 e x-y=1
b) x+y=9 e x.y=20
c) x+y=8 e x+2y=10
<p>
28. Resolva cada um dos sistemas de duas equaes do 1 grau com duas incgnitas: 
a) x+2y=-2 e x-y=4
b) 2x+3y=13 e x-2y=3
c) 3x+5y=-3 e 4x-6y=-2

29. A soma de dois nmeros  22. O triplo do menor mais o dobro do maior  igual a 54. Quais so esses nmeros?
30. Considere a figura a seguir e determine, em graus, o valor de x e de y. 

             
              
               
                
                 
                  
                   
       2x   x+30}  2y
---------------------u-----
  y 
   
<p>
31. Dois ngulos so suplementares. A diferena entre o qudruplo da medida de um deles e o dobro da medida do outro  de 30. Quais so as medidas desses ngulos?  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
4. Propores, porcentagem e 
  juros 

32. O grfico de segmentos a seguir mostra o consumo de combustvel dos carros de uma empresa durante os meses do 1 semestre de um ano.  
<R->
  Veja algumas concluses que podemos tirar com base no grfico: 
<p>
<R+>
<F->
_`[{grfico adaptado em forma de tabela_`]
1 coluna: Meses
2 coluna: Litros

!::::::::::::::
l 1  _ 2    _
r::::::w::::::::w
l jan. _ 1.000 _
r::::::w::::::::w
l fev. _ 1.600 _
r::::::w::::::::w
l mar. _ 1.200 _
r::::::w::::::::w
l abr. _ 1.200 _
r::::::w::::::::w
l maio _ 800   _
r::::::w::::::::w
l jun. _ 1.400 _
h::::::j::::::::j

 Em maro, o consumo foi de 1.200 L 
 No perodo janeiro-fevereiro, o consumo aumentou. 
<p>
 O ms de menor consumo foi maio. 
 No perodo fevereiro-maro, o consumo diminuiu em 400 L (1.600-1.200). 
Ainda com base nesse grfico, responda em seu caderno: 
a) Quantos litros de combustvel foram consumidos em janeiro?  
b) Em que ms o consumo foi de 1.400 L?  
c) Em que perodo o consumo permaneceu estvel?  
d) Que ms apresentou consumo maior? 
e) No perodo maio-junho, qual foi a variao de consumo? 
f) Quantos litros de combustvel foram consumidos em todo o 1 semestre? 
g) Qual foi a mdia mensal de consumo nesse perodo?  
h) O consumo em fevereiro aumentou quanto por cento em relao a janeiro? 
<F+>
<R->

<16>
<p>
<R+>
<F->
33. Handebol, tnis de mesa, jud e polo aqutico so esportes olmpicos. Veja nas figuras os locais onde eles so praticados. 

_`[{quatro figuras descritas por suas legendas_`]
Legenda 1: Quadra de handebol; 
Legenda 2: Mesa de tnis de mesa; 
Legenda 3: Tatame de jud; 
Legenda 4: Piscina de polo aqutico. 

Copie as sentenas no caderno, analise as informaes dadas e complete nos ... 
a) A quadra de handebol tem comprimento de 40 m e permetro de 120 m. Sua largura  de ... e sua rea  de ...
b) O tampo da mesa de tnis de mesa tem 2,74 m de comprimento e 1,52 m de largura. Seu permetro  de ... e sua rea  
  de ... 
<p>
c) O tatame de jud  uma regio quadrada com rea de 100 m2. Cada um de seus lados mede ... e seu permetro  de ...
d) A piscina de polo aqutico tem permetro de 90 m e seu comprimento  o dobro da largura. Ento o comprimento  de ... e a largura  de ...
e) Desenhe a quadra de handebol na escala 1500. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
34. Rafael leu em um jornal que um televisor ligado 6 horas por dia consome 18 kWh por ms. Para economizar energia em sua casa, a famlia de Rafael combinou ligar a TV, em mdia, 
<p>
  4 horas por dia. Se essa 
  meta for atingida, qual ser o consumo mensal (em kWh) do televisor na casa de Rafael?  

35. Lembrando que a densidade demogrfica de um municpio, estado ou pas  dada pela razo ?nmero de habitantes*~?rea da regio*, determine:
a) a rea de uma regio com 80.000 habitantes e densidade demogrfica de 100 hab./km2. 
b) a populao de uma regio que tem rea de 200 km2 e densidade demogrfica de 140 hab./km2. 
c) a densidade demogrfica de uma regio que tem populao de 100.000 habitantes e rea de 2.500 km2.  
<F+>
<R->

<17> 
<R+>
36. O grfico de setores a seguir indica o resultado de uma votao na qual concorreram os 
<p>
  candidatos A, B e C. O nmero de votos vlidos foi 12.000. 
<R->
  Descubra a porcentagem e o nmero de votos de cada um dos candidatos. 

<R+>
<F->
_`[{grfico adaptado_`]
A -- 162
B -- 72
C -- 126
 
37. Uma pesquisa foi realizada em uma classe e a pergunta foi a seguinte: 
<F+>
<R->
  Qual destas atividades culturais voc prefere: visita a museu, concerto de msica, teatro ou cinema?. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em quatro colunas_`]
1 coluna: Atividades
2 coluna: Contagem
3 coluna: Nmero de votos
4 coluna: Porcentagem de votos

!:::::::::::::::::::::::::::::
l 1      _ 2    _ 3_ 4   _
r::::::::::w::::::::w::::w:::::::w
l Museu   _ lllll  _    _       _
l          _ llll   _ 9 _ 30% _
r::::::::::w::::::::w::::w:::::::w
l Concerto_ llllll _ '''_ '''   _
r::::::::::w::::::::w::::w:::::::w
l Teatro  _ '''    _ '''_ 40% _
r::::::::::w::::::::w::::w:::::::w
l Cinema  _ '''    _ '''_ '''   _
h::::::::::j::::::::j::::j:::::::j

a) Em seu caderno, copie e complete a tabela com o resultado da pesquisa. 
b) Construa um grfico de setores correspondente ao resultado da pesquisa em um crculo com 2 cm de raio. 
<p>
c) Formule pelo menos trs questes sobre a pesquisa e pea a um colega para respond-las.  
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
38. Trs torneiras despejam 7.000 L de gua em um reservatrio em 6 horas. Em quantas horas 5 torneiras iguais s anteriores despejam 8.000 L de gua?

39. Marcos aplicou a quantia de R$2.000,00,  taxa de juros simples de 2% ao ms durante 3 meses. 
a) Qual foi o montante no final dos 3 meses?  
b) Qual seria o montante no final dos 3 meses se a taxa fosse de juros compostos? (Use calculadora.) 
<p>
40. Projeto em equipe: 
  realizando pesquisas 
<F+>
<R->
  Consultem 25 pessoas sobre determinado assunto. Com os dados obtidos, elaborem uma tabela, um grfico de barras com os nmeros das respostas e um grfico de setores com as porcentagens. Em seguida, tirem trs concluses de cada um.  

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
41. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno. 

Raciocnio lgico 
<R->

  O sino de uma igreja leva 30 segundos para dar 6 badaladas. Quanto tempo ele levar para dar 12 badaladas? 

               oooooooooooo
          
<18>
Captulo 2 

<R+>
Conjuntos numricos: dos nmeros naturais aos nmeros reais 

Para cada situao um tipo de nmero. 
<R->

  Usamos nmeros para resolver vrias situaes do dia a dia. Alguns nmeros j foram estudados nos anos anteriores, como os nmeros racionais. 
  Analise e resolva as situaes de 1 a 4, propostas a seguir. Na resoluo delas voc vai usar os nmeros racionais em suas vrias formas de representao. 

<R+>
1) Quantas semanas completas temos de 27/07 a 15/10 do mesmo ano, includos esses dois dias? 
<p>
_`[{calendrio com os meses de julho, agosto, setembro e outubro no adaptado_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
2) Lages (SC), em certo dia a temperatura s 2 h era -3}C. 
Das 2 h s 5 h houve uma variao de -2}C. 
Das 5 h s 8 h a variao foi de +4}C. 
Das 8 h s 11 h a variao foi de +3}C. 
Qual era a temperatura s 11 h desse dia? 
<F+>
<R->

<19>
<R+>
3) Em uma receita culinria para 12 rosquinhas, so necessrios 2#,d copos de leite. 
<R->
  Se dona Laura pretende fazer 36 rosquinhas, que quantidade de leite ela vai usar? 
<p>
<R+>
4) Qual  a rea, em m2, do terreno de forma quadrada ilustrado a seguir? 
<R->

<F->
           12,5 m
        pcccccccccc
        l          _
        l          _
12,5 m l  A=...  _ 12,5 m
        l          _
        l          _
        v----------#
           12,5 m
<F+>

  Observe agora as duas situaes a seguir. Para resolv-las, vamos precisar de outros nmeros, chamados de nmeros irracionais.

<R+>
5) Quando uma roda com 40 cm de raio d 5 voltas, quantos metros ela percorre? 

6) Se um terreno quadrado tem rea de 90 m2, qual  a medida de comprimento de cada um de seus lados? 
<p>
<F->
       x
  pcccccccccc
  l          _
  l          _
x l 90 m2 _ x
  l          _
  l          _
  v----------#
       x
<F+>

Neste captulo, vamos retomar o estudo dos nmeros racionais e introduzir o estudo dos nmeros irracionais, destacando os seguintes conjuntos: nmeros naturais (_n), nmeros inteiros (_z), nmeros racionais 
  (_q) e nmeros reais (_r). 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<20>
1. Conjuntos numricos 

  Desde os anos iniciais, voc tem estudado em Matemtica os nmeros, as grandezas e suas medidas, as figuras geomtricas e as tabelas e grficos. 
  Agora, vamos recordar e aprofundar o que voc j sabe sobre nmeros. 
  Quando comparamos uma grandeza e uma unidade, obtemos um nmero. Se a grandeza  discreta, a comparao  uma contagem e o resultado  um nmero natural. Por exemplo, quando contamos o nmero de CDs de uma coleo. Se a grandeza  contnua, a comparao  uma medio e o resultado  um nmero real. Por exemplo, quando medimos a altura de uma pessoa. 

<R+>
Conjunto dos nmeros naturais _n

"Deus criou os nmeros naturais. O resto  obra dos homens." 

Leopold Kronecker 
<R->

  Voc j conhece a sequncia dos nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
<p>
 12, ... Representamos o conjunto dos nmeros naturais por: 
 
<R+>
_n=~l0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..._, 
<R->

  O primeiro elemento desse conjunto  o zero. O sucessor do zero  o 1, o sucessor do 1  o 2, e assim por diante. Representa-se o sucessor de um nmero natural qualquer n por n+1. Como sempre podemos obter o sucessor de um nmero natural, dizemos que o conjunto dos nmeros naturais  infinito. Tal fato  representado pelas reticncias .... 

Subconjuntos de _n 

  O conjunto formado pelos nmeros naturais pares (P)  uma parte de _n. Podemos tambm dizer que P  um subconjunto de _n ou que P est contido em _n. 
<p>
<F->
_`[{diagrama adaptado_`]

pcccccccccccc
l _n         _
l  +::::::  _
l  l P   _  _
l  l      _  _
l  l      _  _ 
l  h::::::j  _
v------------# 
<F+>

<R+>
<F->
_n=~l0, 1, 2, 3, 4, ..._, 
P=~l0, 2, 4, 6, 8, ..._, 
<F+>
<R->

  Indicamos assim: P'_n. (L-se: P  um subconjunto de _n ou P est contido em _n.) 

<21>
Atividades 
 
<R+>
<F->
1. Responda sim ou no. Quando a resposta for no, justifique-a. 
a) Todo nmero natural tem um nico sucessor? 
<p>
b) Nmeros naturais diferentes podem ter sucessores iguais? 
c) Existe algum nmero natural que no  sucessor de outro nmero natural? 
d) Todo nmero natural tem antecessor em _n? 
e) Entre um nmero natural e seu sucessor existe sempre um outro nmero natural? 
f) A soma de dois nmeros naturais  sempre um nmero natural?  
g) A diferena entre dois nmeros naturais  sempre um nmero natural? 
h) O produto de dois nmeros naturais  sempre um nmero natural?  
i) O quociente de um nmero natural por outro  sempre um nmero natural?  
j) Existe um nmero natural que  maior do que todos os outros nmeros naturais? 
k) Existe um nmero natural que  menor do que todos os outros nmeros naturais?  
<p>
2. Escreva, usando chaves, outros subconjuntos de _n. 
a) I: conjunto dos nmeros naturais mpares.  
b) M(6): conjunto dos mltiplos de 6.  
c) D(6): conjunto dos divisores de 6.  
d) A: conjunto dos nmeros primos menores do que 20. 
e) B: conjunto dos nmeros naturais de dois algarismos.  
f) C: conjunto dos nmeros naturais quadrados perfeitos.  

3. Considere os nmeros naturais que aparecem a seguir e os conjuntos da atividade anterior e responda s questes propostas. 

100 -- 121 -- 140 -- 72 -- 360 -- 107 -- 144 -- 59 -- 81
 
a) Quais fazem parte de I?    
b) Quais fazem parte de M(6)? 
<p>
c) Quais fazem parte de C?
d) Quais fazem parte de A? 

4. Generalizao
<F+>
<R->
  Se n indica um nmero natural qualquer, escreva como podemos indicar: 
<R+>
<F->
a) o sucessor de n. 
b) o triplo de n.   
c) os nmeros naturais mltiplos de 7.  
d) os nmeros naturais pares. 
e) os nmeros naturais mpares.
f) os nmeros naturais pares que no so mltiplos de 4.  
<F+>
<R->

<22> 
<R+>
<F->
5. Indique os nmeros naturais correspondentes a x em cada item. 
a) x>=9  
b) x>15 e x<=18 
c) x3=64  
d) x  primo e 15<x<30 
e) x+4<10
f) 3x-9=6 
g) x2>30 
h) x2<=49 e 2x>10 
i) x+8=5 
<p>
6. Uma prova com duas questes foi dada a uma classe de 8 ano com 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questes, 25 acertaram a primeira questo e 20 acertaram a segunda questo. Quantos alunos erraram as duas questes? 

Conjunto dos nmeros inteiros _z
<F+>
<R->

  A foto _`[no adaptada_`] mostra a cidade de Caador em Santa Catarina. Em 1975, no seu municpio, foi registrada a temperatura de 14C abaixo de zero. 
  Essa temperatura  indicada assim: -14C. 
  Marcelo tem um saldo positivo de R$250,00 +250. Se comprar esse fogo e pagar com cheque, quando este for descontado, Marcelo ficar com um saldo negativo de R$50,00. Indicamos por: -R$50,00. 
<p>
<R+>
_`[{fogo -- R$300,00  vista_`]
<R->
 
  Nas duas situaes anteriores apareceram nmeros inteiros negativos -14 e -50. 
  Reunindo os nmeros naturais com os inteiros negativos, obtemos o conjunto dos nmeros inteiros, que representamos por _z: 

<R+>
<F->
_z=~l..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..._, ou _z=~l..., -3,
   -2, -1, 0, +1, +2, +3, ..._, 
<F+>
<R->

<23> 
_`[{a menina diz_`]
  "Com os nmeros inteiros podemos efetuar subtraes que eram impossveis s com nmeros naturais."

<R+>
<F->
3-5=-2 
250-300=-50 
0-1=-1 
75-85=-10 
<F+>
<R->
<p>
  Como _n=~l0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..._,, podemos observar que _n  um subconjunto de _z, ou seja, _n'_z. 
  Para indicar que -3  um elemento do conjunto dos nmeros inteiros _z, escrevemos -3,_z (-3 pertence ao conjunto _z dos nmeros inteiros). 
  Para indicar que -3 no  um elemento do conjunto dos nmeros naturais _n, escrevemos -3,_n (-3 no pertence ao conjunto _n dos nmeros naturais). 

<F->
_`[{diagrama adaptado_`]

pcccccccccccc
l _z         _
l  +::::::  _
l  l _n   _  _
l  l      _  _
l  l      _  _ 
l  h::::::j  _
v------------#
<F+>
<p>
Atividades 

<R+>
<F->
7. Copie em seu caderno apenas as afirmaes verdadeiras.  
a) Todo nmero inteiro tem um nico sucessor. 
b) Todo nmero inteiro tem um nico antecessor. 
c) Entre dois nmeros inteiros h sempre um nmero inteiro. 
d) A soma de dois nmeros inteiros  sempre um nmero inteiro. 
e) A diferena entre dois nmeros inteiros  sempre um nmero inteiro. 
f) O produto de dois nmeros inteiros  sempre um nmero inteiro. 
g) O quociente de dois nmeros inteiros  sempre um nmero inteiro. 
h) O simtrico ou oposto de -18  +18. 
i) A soma de dois nmeros inteiros e opostos  sempre o dobro de um deles. 
<p>
8. Em seu caderno, copie e complete com ' (pertence) ou , (no pertence) no lugar dos ... 
a) -28..._n  
b) -28..._z 
c) 50..._z 
d) +39..._n 
e) +39..._z  
f) 0..._n  
g) 0..._z  
h) #;e..._z
i) 0,3..._n 
j) -1.000..._z
k) 1.205.378..._n
l) ?0,444...*..._z
m) -180..._n
n) 2#e..._n
o) 245..._z 

9. Represente o conjunto formado pelos possveis valores de x em cada item. 
a) x'_n e x<3   
b) x'_z e x>=-2 
c) x'_n e x<=+1  
d) x'_z e -2<x<=3 
<p>
e) x'_n e x<0 
f) x,_z e x<0 
<F+>
<R->

<24> 
Leitura 

<R+>
Coordenadas geogrficas: latitude e longitude 
<R->

  Na navegao  muito comum a necessidade de determinar ou descrever um ponto da Terra. Qualquer ponto da Terra pode ser localizado por linhas imaginrias chamadas linhas de latitude ou linhas de longitude. 
  Como a forma da Terra lembra uma esfera, essas linhas so circunferncias ou partes de circunferncias. Latitude e longitude so medidas em graus porque circunferncias podem ser divididas em graus. 
  As linhas de latitude (chamadas de paralelos) so paralelas entre si e  linha do equador. 
  O equador tem latitude de 0 e divide a Terra em dois hemisfrios, norte e sul. Qualquer ponto da Terra est a um nmero de graus ao norte (N) ou ao sul (S) do equador. Por exemplo, o ponto A _`[no adaptado_`] est localizado a uma latitude de 40N. O ponto B _`[no adaptado_`], a uma latitude de 20S. Por conveno, atribui-se o sinal positivo a todos os pontos ao norte do equador e o sinal negativo a todos os pontos ao sul dele. 
  Os principais paralelos so o crculo polar rtico, o trpico de Cncer, o equador, o trpico de Capricrnio e o crculo polar Antrtico. 
  As linhas de longitude (chamadas de meridianos) esto na disposio norte-sul de polo a polo. Em 1884 convencionou-se que o primeiro meridiano passaria por Greenwich, na Inglaterra. Ele tem 0 de longitude e divide a Terra em dois hemisfrios, oriental (a leste) e ocidental (a oeste). Qualquer ponto da Terra est a um nmero de graus a oeste (O) ou a leste (L) do meridiano de Greenwich. Por exemplo, o ponto C _`[no adaptado_`] est localizado a uma longitude de 60O. J o ponto D _`[no adaptado_`] est localizado a uma longitude de 20L. Por conveno, atribui-se o sinal positivo a todos os pontos a leste do meridiano de Greenwich e o sinal negativo a todos os pontos a oeste dele. 
  As coordenadas geogrficas de qualquer ponto so indicadas pelo par ordenado (latitude, longitude). 
  
<R+>
<F->
Agora  com voc! 

_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

1. O ponto P est localizado a uma latitude de 20S e a uma longitude de 40L _`[figura no adaptada_`]. Indicamos esse ponto assim: P20S,40L ou P-20,+40. Estime a latitude e a longitude de cada um dos pontos a seguir e indique-as usando o mesmo procedimento que fizemos com o ponto P. 
a) E 
b) F 
c) G 
d) H 
e) I 
f) J 
g) K 

2. Observe um globo terrestre ou um mapa e d a latitude e a longitude, aproximadas, nessa ordem, de cada uma destas cidades: 
a) Manaus  
b) Natal
c) So Paulo
d) Londres   
e) Braslia  
f) cidade em que voc mora. 
<F+>
<R->

<25>
<p>
<R+>
Conjunto dos nmeros racionais _q
<R->

  Examine os nmeros a seguir. Voc saberia dizer o que eles tm em comum? 

<R+>
-#:e -- 0,666... -- 3,25 -- -#;ajj -- -3 -- 5 -- 1,333... -- 0,1 -- 0 -- 2#:e
<R->

  Embora escritos em diferentes formas de representao, h algo em comum entre esses nmeros: todos resultam da diviso de dois nmeros inteiros, ou seja, todos podem ser escritos na forma de frao com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. 
  Observe como podemos escrever cada um desses nmeros. 
<R+>
<F->
 -#:e=-3~5 ou -35 
 0,666...=#!i=#;c ou 23
 3,25=3#;?ajj=3#,d=#,:d ou 134
 -#;ajj=-2~100=-1~50 ou -150
<p>
 -3=-3~1 ou -31
 5=#,}b ou 102
 1,333...=1#:i=#,;i=#c ou 43
 0,1=#,aj ou 110 
 0=0~5 ou 05
 2#:e=#,:e ou 135
<F+>
<R->

  Por isso todos esses nmeros podem ser chamados de nmeros racionais. O conjunto formado pelos nmeros racionais  representado por _q. 
  Podemos ento escrever: 
 
<R+>
O conjunto _q dos nmeros racionais  formado por todos os nmeros que podem ser escritos na forma de frao com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. 
<R->
  
  Simbolicamente, indicamos assim:
 
<R+>
_q=~lx,x=a~b, com a'_z, b'_z e b=0_,
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Com os nmeros racionais podemos efetuar divises que eram impossveis s com nmeros inteiros."

<R+>
<F->
25=#;e ou 0,4
179=#,=i ou 1#"i ou 1,888...
<F+>
<R->

<26> 
<R+>
<F->
Atividades

10. Escreva cada nmero racional na forma de frao irredutvel: 
a) 0,6
b) 3#e
c) #;,ce
d) 1,43
e) -8
f) #;}d
g) -0,393939...
h) 0,39

11. Escreva estes nmeros racionais na forma de nmero decimal: 
a) #?h
b) 7
c) -1#,e
<p>
d) -#,;c
e) 3#:aj
f) #,af
g) #ae
h) 2#,d
i) -#,=e
j) 44

12. Em uma competio esportiva, 81 atletas iniciaram a prova; no final de cada fase, #;c dos competidores foram eliminados. Quantas fases teve a competio at chegar ao vencedor?  
 
13. Observe o exemplo a seguir e verifique o mesmo para cada um dos nmeros: se  nmero natural, se  nmero inteiro e se  nmero racional.  
 
-2 
no  nmero natural -2,_n; 
 nmero inteiro -2'_z; 
 nmero racional -2'_q.
<p>
a) 6 
b) #?g 
c) -0,0333... 
 
14. D um exemplo em cada item, quando existir.  
a) Um nmero inteiro que no  natural.  
b) Um nmero racional que no  inteiro. 
c) Um nmero natural que no  inteiro. 

15. Verifique se cada uma das afirmaes  verdadeira ou falsa. Copie em seu caderno apenas as verdadeiras. 
a) Todo nmero natural  inteiro. 
b) Todo nmero racional  inteiro. 
c) Todo nmero inteiro  racional.  
d) Todo nmero natural  racional.  

16. Copie o diagrama a seguir em seu caderno e coloque nele as 
<p>
  letras dos conjuntos numricos _n, _z e _q de forma adequada. Depois distribua os seguintes nmeros nos locais corretos: 

_`[{diagrama adaptado_`]

pccccccccccccccccccccc
l                     _
l  +::::::::::::::   _
l  l   +::::::   _   _
l  l   l      _   _   _
l  l   l      _   _   _
l  l   l      _   _   _
l  l   h::::::j   _   _ 
l  h::::::::::::::j   _
l                     _
v---------------------#

-8 -- +7 -- #:h -- -0,5 -- 12 -- 0 -- -23 -- 1#e -- 0,555...
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
17. A equao x+5=3 no tem soluo em _n, pois no existe nmero natural que somado a 5 d 3. Em _z, porm, essa equao tem soluo. Veja: x=-2, pois -2+5=3. 
<R->
  Determine as solues destas equaes, quando existirem: 
<R+>
<F->
a) x2=9, em _n 
b) x2=9, em _z  
c) 3x=2, em _z
d) 3x=2, em _q  
e) 2x=6, em _n
f) 2x=9, em _n 
<F+>
<R->

<27> 
Dzimas peridicas 

  Toda dzima peridica indica um nmero racional, pois pode ser transformada em frao. 
 
_`[{o professor diz_`]
  "Algumas so dzimas peridicas simples, pois o perodo (parte que se repete) aparece logo depois da vrgula. 0,333...; 3,262626...; e 0,?bdh* so exemplos de dzimas peridicas simples. Existem tambm as dzimas peridicas compostas. Nelas, aps a vrgula, vem uma parte no peridica e depois a pater peridica. Exemplos: 0,36222...; 1,5919191...; e 0,34?be*." 

  Voc j viu no ano anterior que, para transformar dzimas peridicas em frao, podemos usar equaes. 

<R+>
<F->
Dzima peridica simples: 0,353535...=...  
x=0,353535... 
100x=35,353535... 
100x=35+0,353535... 
100x=35+x 
100x-x=35 
99x=35 
x=#:?ii 
 
Processo prtico: 0,353535...=
  =#:?ii
35 -- perodo com 2 algarismos
99 -- dois algarismos 9 
<p>
Outros exemplos: 
 0,666...=#!i=#;c
 0,?cgf*=#:=!iii
 1,444...=1#i=#,:i
 0,181818...=#,"ii=#;aa

Dzima peridica composta: 0,25444...=... 
x=0,25444... 
100x=25,444... 
100x=25+0,444... 
100x=25+#i 
900x=225+4 
900x=229 
x=#;;*ijj 

Processo prtico: 0,25444...=
  =?254-25*~900=#;;*ijj
25 -- parte no peridica
4 -- perodo
 
Procure descobrir o processo prtico com mais estes exemplos: 
a) 0,5212121...=?521-
  -5*~990=#?,!iij 
b) 0,7222...=?72-7*~90=#!?ij 
c) 0,25?cg*=?2.537-
  -25*~9.900=#;.?,;i.ijj 
<p>
Atividade

18. Transforme em frao irredutvel estas dzimas peridicas: 
a) 0,151515...
b) 0,?bhg* 
c) 0,777... 
d) 0,2414141...  
e) 0,32?fc* 
f) 0,185222... 
g) 1,111... 
h) 0,0111... 
i) 2,1222...  
<F+>
<R->

<28>
<R+>
Os nmeros racionais na reta 
  numerada 
<R->

  Fixando um ponto de origem para o zero (0), uma unidade para o 1 e um sentido para ser o positivo, podemos localizar na reta numerada qualquer nmero racional. 
  Veja a localizao de #;c; -1#,b; 3,25; -2,6; e 2,333...:

<R+>
<F->
_`[{reta numerada no adaptada_`]
<p>
 #;c fica entre 0 e 1: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e tomamos duas de 0 para 1. 
 -1#,b fica entre -2 e -1, no ponto mdio do intervalo.
 3,25=3#;?ajj=3#,d fica entre 3 e 4: dividimos o intervalo em 4 partes iguais e tomamos uma de 3 para 4. 
 -2,6=-2#!aj=-2#:e fica entre -3 e -2: dividimos o intervalo em 5 partes iguais e tomamos trs de -2 para -3. 
 2,333...=2#:i=2#,c fica entre 2 e 3: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e tomamos uma de 2 para 3. 
<F+>
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Ento podemos dizer que para cada nmero racional existe um ponto na reta numerada." 

_`[{o professor diz_`]
  "Mas nem todo ponto da reta numerada corresponde a um nmero ra-
<p>
 cional. O conjunto _q $"no cobre$" toda a reta."

<R+>
Densidade do conjunto dos nmeros racionais 
<R->

  Voc j sabe: entre dois nmeros naturais nem sempre h um outro nmero natural. Por exemplo, entre os nmeros naturais 3 e 5 h um outro nmero natural (4), mas entre quaisquer dois nmeros naturais consecutivos (6 e 7, por exemplo) no h outro nmero natural. 
  Com os nmeros inteiros ocorre o mesmo. Nem sempre entre dois nmeros inteiros h outro nmero inteiro. Por exemplo, entre -1 e -2 no h outro nmero inteiro. 
  Agora veja o que ocorre com os nmeros racionais: 
 
<R+>
Entre dois nmeros racionais sempre existe um outro nmero racional. 
<R->
<p>
  Essa  a propriedade da densidade dos nmeros racionais. 
  Dizemos, por isso, que o conjunto dos nmeros racionais  denso. 

<29> 
Examine a seguir alguns exemplos: 

Exemplo 1 

  Entre os nmeros racionais 1,375 e 1,376 h outros nmeros racionais:

_`[{reta numerada no adaptada_`]
 
  Assim, entre os nmeros racionais 1,375 e 1,376 h os nmeros racionais 1,3751; 1,3752; 1,3753; etc.

_`[{o professor diz_`]
  "Lembre-se: 1,375=1,3750 e 1,376=1,3760." 
<p>
Exemplo 2 

  Entre os nmeros racionais -#=h e -0,75 h outros nmeros racionais. 
  Como -#=h=-0,875 e -0,75=
 =-0,750, veja alguns nmeros racionais que esto entre -#=h e -0,75: -0,758; -0,762; -0,800; -0,837; -0,873 e muitssimos outros (so infinitos).

Exemplo 3 

  Entre os nmeros racionais #:e e #:d h outros nmeros racionais. 
  Vamos constatar essa afirmao de trs maneiras diferentes: 
<R+>
1) Escrevemos as fraes equivalentes a #:e e #:d com denominadores iguais: #:e=#,;bj e #:d=#,?bj. 
<R->
  Assim, por exemplo, #,bj est entre #,;bj e #,?bj, ou seja, #,;bj<#,bj<#,?bj ou #:e<#,bj<#:d. 
<p>
<R+>
<F->
2) Determinamos a mdia aritmtica entre os nmeros racionais #:e e #:d: 
?#:e+#:d*~2=?#,;bj+#,?bj*~2=
  =?#;=bj*~2=#;=bj2=#;=bj.
  .#,b=#;=dj
<F+>
<R->
  Logo, #:e<#;=dj<#:d.
<R+>
3) Passamos #:e e #:d para 
  a representao decimal: #:e=0,6=0,60 e #:d=0,75
<R->
  H infinitos nmeros racionais entre eles, como, por exemplo: 0,65; 0,7; 0,71; 0,72; etc. 

<30>
<R+>
<F->
Atividades 

_`[{para as atividades de 19 a 21, pea orientao ao professor_`]

19. Trace uma reta, estabelea o sentido positivo, o ponto de origem para o zero e a unidade. Localize os nmeros inteiros de -3 a +3 e depois localize, aproximadamente, os pontos cor-
<p>
  respondentes aos seguintes nmeros racionais: 1#,b; 
  -2,333...; #e; -0,75; #"c; e -1#e.  

20. Descreva como localizar na reta numerada os pontos correspondentes aos nmeros racionais a seguir. 
a) #=b
b) -#:d
c) 1,7
d) -3#e

21. No seu caderno, copie a reta _`[no adaptada_`] e depois associe cada nmero racional a seguir  letra correspondente, marcada na reta numerada.
 1#e;
 -2,5;
 #c;
 0,181818...;
 -#=aj;
 0,7;
 -1#,d
<p>
22. Use qualquer um dos processos anteriores e escreva pelo menos dois nmeros racionais que estejam entre: 
a) #,b e #:d
b) 1,55 e 1,57
c) 2,01 e 2,02
d) 1,6 e 1#?h
e) #,b e 0,6
f) 1.000,1 e 1.000,01

Conjunto dos nmeros irracionais _i 
<F+>
<R->

  Voc j sabe que todo nmero racional  representado por uma frao, ou seja, ele  resultado da diviso de dois nmeros inteiros, em que o divisor  diferente de zero. Essa diviso pode ter como resultado: 
<R+>
<F->
 um nmero inteiro; 
 um nmero decimal exato (finito); 
 um nmero decimal infinito e peridico (dzima peridica). 
<F+>
<R->
<p>
_`[{o menino diz_`]
  "Existem nmeros que no so racionais?"

  Sim, existem nmeros cuja representao decimal  infinita e no peridica. Por exemplo, 0,10100100010000100000... e 2,71727374... so representaes decimais infinitas no peridicas. No h um mesmo padro que se repete aps a vrgula. 
  Esses nmeros no so racionais. Eles so chamados nmeros irracionais. Vamos indicar por _i o conjunto formado por todos os nmeros irracionais. 
  H outros nmeros irracionais importantes, que veremos a seguir. 

<31>
O notvel nmero ^p
 
  Voc j viu que, dividindo a medida do comprimento (C) de uma circunferncia pela medida de seu dimetro (d), sempre encontramos o mesmo nmero, que designamos ^p (pi) e cujo valor  prximo de 3. 
  O nmero ^p resulta da diviso de C por d, mas isso no significa que ele seja racional. Para que o nmero ^p seja racional, C e d devem ser ambos inteiros, mas isso nunca ocorre simultaneamente com as medidas do comprimento e do dimetro de uma circunferncia.  
  O nmero ^p j foi calculado com o auxlio do computador, obtendo-se 1,3 trilho de casas decimais, sem que tenha surgido uma representao decimal exata ou uma dzima peridica. Veja o nmero ^p com as 50 primeiras casas decimais: 

<R+>
3,14159265358979323846264338327~
  iejbhhdaigaficiicgeaj...
<R->

  O nmero ^p  a medida do comprimento da circunferncia quando se toma o dimetro como unidade. 
<p>
  Nos clculos usamos valores aproximados: ^p=3,14 ou ^p=3,1416 ou ^p=3,1, etc. 

Atividades 

<R+>
<F->
Use ^p=3,14 nas trs atividades a seguir. 
23. Determine e registre no caderno: 
a) a medida do comprimento de uma circunferncia de 3 cm de raio.  
b) a medida do comprimento de uma circunferncia de 10 cm de dimetro. 

24. Encontre a medida do raio de uma circunferncia de 25,12 cm.  
25. Na sua caminhada matinal, Mariana deu 10 voltas em uma praa circular com raio de 30 m. Nessa caminhada ela percorreu mais ou menos do que 2 km? 
<p>
Voc sabia? 
<F+>
<R->
 
  Foi o matemtico suo 
 Leonhard Euler (1707-1783) que, em 1737, popularizou a notao ^p para designar a razo constante entre a medida do comprimento de uma circunferncia e a medida do seu dimetro. Foi tambm nessa poca que os matemticos conseguiram demonstrar que ^p  um nmero irracional. O clculo de ^p com milhares de casas decimais  usado para testar computadores novos. Em 1995 um japons recitou de cor as primeiras 42 mil casas decimais de ^p em pouco mais de 9 horas. 

<32>
O nmero 2

  Se uma regio quadrada tem rea de 9 cm2, cada um de seus lados tem 3 cm. Veja:
<p> 
<F->
         x
  pcccccccccccccc
  l              _
  l              _
  l              _
x l   9 cm2   _ x
  l              _
  l              _
  l              _
  v--------------#
         x

x2=9
x=9
x=3
<F+>

  E se a rea de uma regio quadrada  de 2 cm2, qual  a medida de comprimento, em cm, de cada lado?
<p> 
<F->
        a
  pccccccccccc
  l           _
  l           _
a l 2 cm2  _ a
  l           _
  l           _
  v-----------#
        a

a2=2
a=2
a=...
<F+>

<R+>
Observao: Os valores negativos para x e para a no esto sendo considerados, pois x e a indicam uma medida de comprimento. 
<R->
 
  Vamos obter a representao decimal do nmero 2 fazendo aproximaes sucessivas: 

<R+>
<F->
  2=... 
12=1 (menor do que 2) 
22=4 (maior do que 2)
2 est entre 1 e 2 
<p> 
  2=...
(1,4)2=1,96 (menor do que 2) 
(1,5)2=2,25 (maior do que 2) 
2 est entre 1,4 e 1,5

  2=...
(1,41)2=1,9881 (menor do que 2) 
(1,42)2=2,0164 (maior do que 2) 
2 est entre 1,41 e 1,42
<F+>
<R->

  Se continuarmos o processo, no chegaremos nem a uma representao decimal exata nem a uma dzima peridica. Escrevemos assim: 2=1,414213562... 
  2  um nmero irracional. 
  As reticncias indicam que as casas decimais continuam indefinidamente. 
<p>
Voc sabia? 

  Os babilnios j haviam calculado o valor de 2 como 1,4142129 (com erro a partir da sexta casa) e nem se preocuparam se 2 era um nmero racional ou no. J para os pitagricos (discpulos do matemtico e filsofo grego Pitgoras -- 582 a.C. -- 497 a.C.), intelectuais mais cuidadosos, a descoberta de que 2 no era racional, mas um nmero dado por uma cadeia infinita de casas 
 decimais sem nenhum padro 2=1,414213562... causou uma grande crise de natureza filosfica e religiosa, pois at ento, para eles, "tudo era nmero", subentendendo nmero como nmero racional. 

<33>
_`[{o professor diz_`]
  "Assim como 2, todas as outras razes quadradas no exatas de nmeros naturais so exemplos 
<p>
 de nmeros irracionais. 3, 7, 30, 95, 120 e outras so nmeros irracionais."

Atividades 

<R+>
<F->
26. Determine por aproximaes (at centsimo) o valor de: 
a) 7   
b) 13 
c) 3  
Para calcular a raiz quadrada de um nmero em uma calculadora, teclamos o nmero e em seguida a tecla y. Confira os resultados dos itens anteriores usando a calculadora. 

27. Calcule as razes quadradas a seguir usando uma calculadora e registre em seu caderno. Voc obter mais exemplos de nmeros irracionais na forma de nmero decimal. Coloque reticncias no final, pois no so representaes decimais exatas. 
<p>
a) 11 
b) 37 
c) 90 
d) 20  

28. Sem usar calculadora, resolva as situaes 5 e 6 da pgina 35, na abertura deste captulo. Use os nmeros irracionais com valores aproximados em centsimo. 

29. Use decomposio em fatores primos e descubra quais das razes quadradas a seguir so nmeros racionais e quais so nmeros irracionais. Nas razes exatas calcule seu valor. 
a) 441 
b) 6.875 
c) 968 
d) 1.936

Clculo aproximado de razes no exatas 
<F+>
<R->

  Voc tambm pode usar a calculadora para obter razes quadradas aproximadas de nmeros racionais dados na forma de nmero decimal e na forma fracionria.

<R+>
<F->
12,5=...
1y 2y .y 5y y -- 3.5355339
12,5^=3,5355339

#:d=...
3y y 4y =y y -- 0.8660254
#:d^=0,8660254

0,777...=...
Fazemos 0,777...=#=i e depois 7y y 9y =y y -- 0.881917
0,777...^=0,881917
<F+>
<R->

<34> 
Atividades 

<R+>
<F->
30. Use a calculadora e registre com aproximao de centsimos (duas casas decimais): 
a) 0,08  
b) 0,15 
<p>
c) #e
d) #;c 
e) 2,44
f) #?f

31. Calcule as razes quadradas, com aproximao de centsimos, sem usar calculadora. 
a) 8
b) 20
c) 27
d) 80

32. O grfico _`[no adaptado_`] mostra as razes quadradas dos nmeros de 0 a 50. 
Responda em seu caderno: 
a) Qual  a raiz quadrada de 25?  
b) Qual  a raiz quadrada aproximada de 40? 
c) Qual  o nmero cuja raiz quadrada  6?  
Troque ideias com um colega. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
Conjunto dos nmeros reais _r
<R->

  Reunindo o conjunto dos nmeros racionais (_q) com o conjunto dos nmeros irracionais (_i), obtemos o conjunto dos nmeros reais (_r). 

_`[{diagrama adaptado_`]
 
<F->
pccccccccc
l    _     _
l _q _ _i  _
l    _     _
v----#-----#
     _r
<F+>

<R+>
_r=_q__i
 _ :o l-se "unio com".
<R->

  No existe um nmero que seja, ao mesmo tempo, racional e irracional, mas qualquer nmero racional ou irracional pode ser chamado de nmero real. 
  Por exemplo: 
<R+>
<F->
<p>
 7  um nmero real irracional; 
 #g  um nmero real racional;
 -4  um nmero real racional;
 ^p  um nmero real irracional.
<F+>
<R->
  O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numricos _n, _z, _q, _i e _r. 

<F-> 
pcccccccccccccccccccccccccc _r
l _q                  _ _i  _
l    pcccccccccccccc _     _
l    l _z           _ _     _
l    l     pcccccc _ _     _ 
l    l     l _n   _ _ _     _
l    l     l      _ _ _     _
l    l     l      _ _ _     _
l    l     h::::::j _ _     _  
l    h::::::::::::::j _     _  
v---------------------#-----#         
<F+>

<F->
_n'_z'_q'_r
_i'_r
_q__i=_r
<F+>

  Observe que o zero pertence aos conjuntos _n, _z, _q e _r ou seja, 
<p>
 o zero  um nmero natural, nmero inteiro, nmero racional e nmero real. 
<35>
  Veja agora os smbolos que usamos para representar alguns subconjuntos de _n, _z, _q e _r: 
<R+>
<F->
_n*: conjunto dos nmeros naturais sem o zero 
_z-: conjunto dos nmeros inteiros negativos com o zero 
_q+*: conjunto dos nmeros racionais positivos 
_r+: conjunto dos nmeros reais positivos com o zero 

Atividades  

33. Observe estes nmeros: 

-4; #,c; 0,888...; 6; 0; -1#:e; 4,86; 8; ^p
 
Dentre esses nmeros, escreva quais so: 
a) nmeros naturais; 
b) nmeros inteiros; 
<p>
c) nmeros racionais; 
d) nmeros irracionais. 
Agora responda: Qual  o nome que pode ser dado a todos esses nmeros?  

34. No caderno, copie apenas as sentenas verdadeiras. 
a) Todo nmero natural  inteiro.  
b) Todo nmero inteiro  real.
c) Todo nmero irracional  real. 
d) Todo nmero racional  inteiro. 
e) Existem nmeros racionais que no so reais. 
f) Existem nmeros reais que no so racionais. 
 
35. Atividade em dupla 
<F+>
<R->
  Em cada item, registrem dois nmeros: 
<R+>
<F->
a) naturais maiores do que 500 e menores do que 600.  
b) inteiros maiores do que -13 e menores do que -10. 
<p>
c) racionais maiores do que #,b e menores do que 1#,b. 
d) irracionais maiores do que 1,01001000100001. 
e) reais racionais.
f) reais maiores do que ^p e menores do que 17.

36. Escreva o que representa cada um dos smbolos:  
a) _z+ 
b) _z+*
c) _q- 
d) _r+* 
e) _r- 
f) _q-* 

37. No caderno, copie cada item e coloque , ou , para indicar se o nmero faz ou no parte do conjunto: 
a) 0..._n* 
b) 0..._z-
c) 7..._q+
d) ^p..._r+
e) -#:e..._z-
<p>
f) 0..._r+*
g) 1,3..._z+
h) -1#,d..._r*

<36>
Os nmeros reais na reta numerada 
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Qualquer nmero racional ou irracional pode ser chamado de nmero real. #:g  um nmero real racional; ^p  um nmero real irracional. Para cada nmero real, h um ponto correspondente na reta numerada e, para cada ponto da reta, h um nmero real correspondente. Por isso dizemos que existe uma correspondncia um a um entre os nmeros reais e os pontos de uma reta." 

  Observe a reta numerada. Os nmeros irracionais 2, 7 e ^p foram localizados aproximadamente 2^=1,4; 7^=2,6; ^p^=3,1.
 
<F->
:w::::w::::w::::o::w:::::o:::
-1   0   1 2 2   7
<F+>
<p>
  Veja outros exemplos. 
  Considerando um segmento de 2 cm como unidade, vamos localizar, aproximadamente, alguns nmeros reais na reta numerada.

<R+>
<F->
::w:::w:::w:::o:::w::o
  3         3,75 4

3,75=3#=?ajj=3#:d

:w:w:w:w:o:w:w:w:w:w:w:o
 1     2          2

2^=1,4

:w::o:::::::::::::w:o
-1-0,888...      0

-0,888...=-#"i

:w:::::::::::o::::w:o
 5          33 6

33^=5,7
<p>
:w:::::::o::::::::w:o
-3     -2#,b    -2
<F+>
<R->

<R+>
<F->
Observao: Considerando a correspondncia um a um citada anteriormente, os nmeros reais ocupam todos os pontos da reta, que por isso  chamada reta real. 

Atividades 

38. Escreva entre que nmeros inteiros consecutivos fica cada um dos nmeros reais a seguir. Identifique se ele  real racional ou real irracional. O item a j est resolvido. 
a) 30: real irracional; fica entre 5 e 6. 
b) #,"g
c) -8,666... 
d) 50
e) 10

39. Use um segmento de 2 cm como unidade e localize os nmeros na reta real: 
<p>
a) 4#;e 
b) -#,,c
c) 3
d) 55
e) ^p~2
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
40. Escreva dois nmeros reais, um racional e outro irracional, que ficam entre 10 e 11. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<37>
<R+>
2. Comparao e operaes com nmeros reais 
<R->

  Voc j estudou comparao e operaes com nmeros reais racionais. No caso de comparao e operaes envolvendo os nmeros reais irracionais vamos, neste ano, considerar seus valores aproximados. 
<p>
  Por exemplo, considerando 3^=1,7, 10^=3,2 e 22^=4,7: 
<R+>
<F->
 3<2
 10>2#,aj
 5>22
 5,1+10^=5,1+3,2=8,3
 -3.22^=-3.4,7=-14,1
 3~2^=1,72=0,85

Atividades 

41. Use uma calculadora e registre no caderno os seguintes nmeros irracionais na forma de nmero decimal, com aproximao de centsimos (2 casas). 
a) 2
b) 5
c) ^p
d) 10
e) 28

42. Efetue as operaes a seguir com nmeros reais. Use os valores aproximados da atividade an-
<p>
  terior para aquelas que envolvem nmeros irracionais. 
a) 2.468+71
b) -35.-10
c) #:h-#?ab
d) 0,444...1#,b
e) 8+2 
f) 5-1  
g) 3^p  
h) 10~2
i) 28-2
j) ^p+4
k) 32
l) 2+^p

43. No caderno, copie e compare os nmeros reais colocando >, < ou = no lugar dos ... 
a) -12...7
b) #e...#*ac
c) ?0,7222...*...0,73
d) ^p...3,5
e) 2...#i
f) 10...3,15
g) 5,1...28
h) 3#,e...10
i) -29...-12
<p>
Desafio
<F+>
<R->

  1,44  um nmero racional ou irracional? 

<38>
<R+>
<F->
44. Considere a regio retangular {a{b{c{d desenhada com as medidas indicadas. Calcule em seu caderno: 

A  5 m     B
!::::::::::::
l            _
l            _ 2 m
l            _
h::::::::::::j
D           C

_`[{diagonal {a{c mede 29 m_`]

a) o permetro da regio retangular {a{b{c{d.  
b) a rea da regio retangular {a{b{c{d.  
c) a medida da diagonal, em metros, com aproximao de dcimos. 
<p>
d) a rea da regio triangular {a{b{c. 
e) o permetro aproximado da regio triangular {a{b{c.  

45. Escreva os nmeros reais a seguir em ordem crescente. 

#,;e; -2,8; 3; 0; -2,777... 

46. Compare os resultados das operaes de cada item. No caderno, copie e coloque >, < ou = no lugar dos ... 
a) ?16+9*...16+9
b) ?10-1*~3...#,}c-1
c) ?4.25*...4.25
 
Curiosidade matemtica 

Multiplicao usada pelos 
  camponeses russos 
<F+>
<R->

  Desde a poca medieval at o incio do sculo XX, os camponeses da Rssia faziam multiplica-
<p>
 es utilizando dobros e metades. Por exemplo, 2445:

<F->
24 45 
12 90 
6  180 
3  360 
1  720 
<F+>

  Note que a metade de 3  1,5, mas eles no trabalhavam com os decimais. Quando aparecia meio, eles o abandonavam. Ento, em lugar de 1,5, colocavam 1. 
  Em seguida, riscavam as linhas onde na coluna da esquerda houvesse nmeros pares e somavam apenas os nmeros que restavam na 2 coluna: 360+720=1.080. Logo, 2445=1.080. 

<R+>
_`[{linhas riscadas: 24 45, 12 90 e 6 180_`]
<R->

  Use esse mtodo e efetue as multiplicaes 1874 e 6720. 

               ::::::::::::::::::::::::
<39> 
<p>
<R+>
3. Inequaes e sistemas de 
  inequaes em _r 
<R->

  Vamos resolver a inequao 13-2x<=1 e descobrir quais nmeros reais so solues dessa inequao. Veja a seguir.

<F->
13-2x<=1 
-2x<=1-13 
-2x<=-12 
2x>=12 
x>=#,;b 
x>=6 
<F+>
 
  As razes dessa inequao so todos os nmeros reais maiores do que ou iguais a 6. 
  Indicamos as solues assim: x,_r,x>=6, que se l: x pertence ao conjunto dos nmeros reais tal que x  maior do que ou igual a 6. 
<p>
  Veja a representao desses nmeros na reta numerada: 

<R+>
<F->
Legenda:
o -- indica que o 6 est includo
 -- indica as solues da inequao

:::::o> 
     6

Outros exemplos: 
a) 2x+4<6 (inequao)
2x+8<6 
2x<6-8 
2x<-2
x<-#;b
x<-1
<F+>
<R->
 
  As razes ou solues dessa inequao so todos os nmeros reais menores do que -1. 
  Solues: x,_r,x-1
  Na reta: 
<p>
<R+>
<F->
Legenda:
o -- indica que o -1 no est includo.
 -- indica as solues da inequao

o:::::> 
           -1

b) 2<x-4<=10 (sistema de inequaes) 
x-4>2 
x>2+4  
x>6
e x-4<=10   
x<=10+4 
x<=14
<F+>
<R->

  As razes ou solues desse sistema de inequaes so todos os nmeros reais maiores do que 6 e menores do que ou igual a 14. 
  Solues: x,_r,x>6 e x<=14 ou x,_r,6<x<=14
<p>
  Na reta:

<R+>
<F->
Legenda:
o -- indica que o 6 no est includo.
o -- indica que o 14 est includo.
 -- indica as solues da inequao

::::oo::::::::>
    6          14
<F+>
<R->

<R+>
<F->
Atividades 

47. Determine os nmeros reais que so solues das inequaes e dos sistemas a seguir. Em 
  cada item localize as solues na reta. 
a) 3x-2<=x+8 
b) 5x-1<3+7x 
c) -8<2x<1
d) 3-x<=1 e 2x-4<12
<p>
48. Descubra quais dos nmeros reais a seguir so solues da inequao 3x~4-1<=?x-1*~6.

+2,333...; -2#,d; 5; 1#:g; #?i

49. Quais nmeros reais satisfazem a sentena em cada item? 
a) 0.x=5  
b) 0.x=0 
c) 0.x<3  
<F+>
<R->

<40>
<R+>
<F->
50. Responda s questes referentes a nmeros reais: 
a) Entre que nmeros inteiros consecutivos fica o nmero 66? 
b) Qual  o oposto ou simtrico de -1#:g? 
c) Qual  o inverso de 0,777...?  
d) Qual  a frao irredutvel correspondente ao nmero racional 0,4222...?  
<p>
e) Como  o nmero -2#,,bj escrito na forma de nmero decimal? 
f) Qual  maior: #:?h ou 27?
g) Qual  o mdulo de -12? Como ele  indicado?  
h) Entre que nmeros inteiros consecutivos fica o valor de 85~2? 
i) Qual  o resultado de 3#;e-1?  
j) Quais so os nmeros inteiros que no so nmeros naturais? 
k) O nmero real irracional 11  raiz da inequao 13-3x>1? 

51. Quatro nmeros racionais esto representados, cada um, de trs formas diferentes. Identifique-os. 

#:h; 1#:e; 1,666...; #;?ij; 1,6; #*bd; 1#;c; 0,2777...; #"e; #,?i; 0,375; #?ah
<p>
52. Generalizao
<F+>
<R->
  Considere x, y e z nmeros reais. Copie e complete as sentenas tornando-as verdadeiras. 
<R+>
<F->
a) x-x=... 
b) Se y=0, ento yy=...
c) z+0=...
d) x.1=...
e) z.0=... 
f) O oposto de x  indicado por ... 
g) Se y=0, seu inverso  indicado por ... 
h) Se x<y, ento -x...-y. 

53. Projeto em equipe: nmeros racionais em notcias 
<F+>
<R->
  Recortem de jornais, revistas ou folhetos de propaganda trs notcias: uma envolvendo nmero inteiro, outra envolvendo frao e outra envolvendo nmero racional na forma de nmero decimal. Mon-
 tem um painel e para cada notcia formulem e respondam a uma questo. 
<p>
<R+>
54. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? 

Raciocnio lgico
<R->

  Qual  o gatinho mais gordo? 
  Sabe-se que Fofo  mais gordo do que Lulu. Bilu  mais gordo do que Fofo. Lulu  mais magro do que Bilu. Fifi  mais gordo do que Bilu. 
  Afinal, qual  o mais gordo?  

               ::::::::::::::::::::::::

<41>
<R+>
<F->
Reviso cumulativa 
 
1. Sem efetuar divises, localize no quadro a seguir e registre no caderno: 
a) os quatro nmeros que so mltiplos de 2; 
b) os quatro nmeros que so mltiplos de 3; 
c) os quatro nmeros que so mltiplos de 5. 
<p>
!::::::::::::::::::::::::
l 1.001 _ 787   _ 2.139 _
l 1.596 _ 285   _ 4.200 _
l 346   _ 1.340 _ 2.905 _
h::::::::j::::::::j::::::::j

2. Se 2 kg de carne custam R$17,00, quanto custaro 4,5 kg de carne?  
3. Determine o valor, em forma de frao, dos primeiros seis termos da sequncia a seguir e depois descreva como as fraes so obtidas. 

#,c, ?1+3*~?5+7*, ?1+3+5*~?7+9+11*, ?1+3+5+7*~?9+11+13+15*, ... e ...
<p>
4. Para cada nmero real so dados trs valores. Copie em seu caderno apenas o valor mais prximo do valor exato. 
a) ^p
  3,41; 3,14; 3,19.
b) 11
  3,3; 3,2; 3,4.
c) 5-2
  3,9; 3,6; 3,3.
d) 3.026
  56; 54; 55.
e) #:=g
  5,9; 5,6; 5,3.
f) 79~2
  3,3; 4,4; 5,5.
 
5. Considere os seguintes nmeros:

-8; 1#,d; 0; 3,71; 12; 14; -1,777...; #:h.

Entre eles, indique:
a) os que pertencem a _z-. 
b) os que pertencem a _q+*.  
<p>
c) o que no  nmero racional. 
d) os nmeros reais positivos. 
e) os que pertencem a _n.  
f) os que pertencem a _q-. 

6. Clculo mental 
<F+>
<R->
  Em cada item calcule mentalmente, responda e indique se as grandezas envolvidas so direta ou inversamente proporcionais: 
<R+>
<F->
a) Uma torneira despeja 6 L de gua por minuto e gasta 3 h para encher um tanque. Se ela despejasse 12 L por minuto, em quanto tempo encheria o tanque? 
b) Um carro percorreu 240 km em 3 h, em certa velocidade. Com a mesma velocidade, em quanto tempo ele percorrer 480 km? 
c) Dois pintores levam 20 dias para pintar uma casa. No mesmo ritmo de trabalho, quantos dias quatro pintores levariam para pintar essa casa? 
<p>
d) Se 3 arrobas correspondem a 45 kg, a quantas arrobas correspondem 90 kg? 
e) O preo de 4 L de tinta  de R$10,00. Qual  o preo de 12 L? 

7. A idade atual de Marisa  o quntuplo da idade de Paula. Daqui a 9 anos a idade de Paula ser #aa da idade de Marisa. Descubra as idades atuais de Marisa e Paula. 
<F+>
<R->

<42>
<R+>
8. Em uma folha de papel quadriculado, trace duas semirretas conforme mostra a figura. 
<R->
  Veja os pontos A e B marcados seguindo as seguintes orientaes: 
  A 2,#d: parte de 0, anda 2 unidades para a direita e 4 para cima. 
  B 3,#a: parte de 0, anda 3 unidades para a direita e 1 para cima.
<p>  
<F->
   l
   l   A
4 p  o
   l
   l      B
   l     o
0 v---=--------->
       2
<F+>

  Marque A e B mais estes pontos: C6,#d, D3,#b, E6,#f, F4,#c e G6,#a. 
  Em seguida, trace os segmentos ^c?{a{c*, ^c?{b{d*, ^c?{f{g*, ^c?{c{e*, ^c?{b{g*, ^c?{a{e* e ^c?{d{f*. 
<R+>
<F->
Agora, responda em seu caderno: 
a) Quantos polgonos voc formou? Quais so eles?
b) Quais deles possuem ngulo reto? Qual  esse ngulo? 
c) Qual deles possui um ngulo obtuso? Qual  esse ngulo? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
9. Copie no caderno as trs afirmaes corretas.
a) _n'_z'_r'_q
b) _z-'_q
c) _r-*'_r-
d) _n'_z'_q

10. Cludia e uma amiga resolveram medir o comprimento da circunferncia do bambol com o qual estavam brincando. Usando uma fita mtrica, encontraram a medida 314 cm. Quanto mede o dimetro desse bambol? 

11. Regina vai colocar etiquetas nos livros da biblioteca onde trabalha, especificando nelas o assunto e o ano mais adequado para a leitura.
<p>
!::::::::::::::::::::
l Assuntos          _
r::::::::::::::::::::w
l Cincias (C)   _
l Geografia (G)  _
l Histria (H)   _
l Matemtica (M) _
l Portugus (P)  _
h::::::::::::::::::::j

!::::::::::
l Anos    _
r::::::::::w
l 6 (6) _
l 7 (7) _
l 8 (8) _
l 9 (9) _                              
h::::::::::j

Um tipo de etiqueta  G-6, que representa livro de Geografia para 6 ano. 
Responda em seu caderno: 
a) Quantos tipos diferentes de etiqueta ela ir fazer? 
<p>
b) Escolhendo um desses tipos ao acaso, qual  a probabilidade de 
  ser etiqueta para um livro de Matemtica? 
c) Qual  a probabilidade de escolha para um livro que no seja de Histria nem de 9 ano? 

12. Resolvendo uma questo de uma prova de Matemtica, Jorge encontrou como resultado o nmero -0,151151151151... Esse nmero pode ser chamado de natural, irracional, racional ou inteiro?

13. Analise estas trs afirmaes:
A: #;c de 21=14
B: 10% de 6.000=600
C: 1% de 20.000=2.000
Quais delas so verdadeiras?
a) A, B e C. 
b) S A e B.
c) S A e C. 
d) S B e C.
<p>
14. Em qual destes poliedros a razo entre o nmero de faces e o nmero de arestas  igual a #,b: pirmide de base quadrada, cubo, prisma de base triangular ou tetraedro?
15. Uma regio quadrada tem rea igual a 10 cm2. Quanto mede seu lado, em centmetros?
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<43>
<R+>
Para ler, pensar e divertir-se 

Ler 

Notao moderna de radical 
<R->

  A notao moderna para as razes foi inventada pelo alemo Christoph Rudolff, em 1525. Ele usava o sinal ** para a raiz quadrada e *w* para a raiz cbica. Mais tarde, um outro alemo, 
 Michel Stifel, adotou os smbolos que usamos at hoje: , 3, etc. 
<p>
O nmero de ouro dos gregos 

  O nmero de ouro dos gregos (aproximadamente 1,618), que aparece frequentemente na arquitetura, na escultura e na pintura grega,  dado por uma expresso que envolve raiz quadrada. Essa expresso foi muito usada por 
 Fdias, um escultor grego, e em sua homenagem usamos fi (^f) para representar o valor numrico da razo de ouro: ^f=?1+
 5*~2^=1,618. Por exemplo, a diviso da medida da largura (l) pela medida da altura (h) do 
 Partenon (sculo V a.C.), em Atenas,  igual ao nmero de ouro: 

l~h^=1,618 

Pensar 

  A pea a seguir foi feita com 100 cubos. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Uma placa formada por 10 colunas e 10 linhas. 

--------------------.
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-v-v-l
<F+>
<R->

  Pedro pintou toda a pea de vermelho e depois separou os cubos. 
<p>
<R+>
<F->
1. Determine a porcentagem de cubos que tm pintadas de vermelho: 
a) todas as 6 faces;
b) 4 faces;   
c) 2 faces; 
d) 5 faces;
e) 3 faces;
f) 1 face; 
g) nenhuma face. 

2. Qual  a soma dessas sete porcentagens?  

Divertir-se 
<F+>
<R->

  Copie a figura a seguir em uma folha de papel sulfite. Pinte trs quadrinhos de azul, trs de amarelo e trs de vermelho. Mas ateno: dois quadrinhos vizinhos no podem ter a mesma cor. 
<p>
<F->
!:::::::::::::::
l     _     _     _
r:::::w:::::w:::::w
l     _     _     _
r:::::w:::::w:::::w
l     _     _     _
h:::::j:::::j:::::j
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo


Fim da Primeira Parte

